Bab 6: Solusi Persamaan Nonlinear Metode Tertutup

6.1 Deskripsi Bab

Bab ini membahas cara mencari akar persamaan nonlinear dengan metode tertutup. Akar persamaan adalah nilai $x$ yang membuat fungsi bernilai nol, atau secara matematis memenuhi:

$$f(x) = 0$$

Pada persamaan sederhana seperti $2x+4=0$, akar dapat dicari secara analitik. Namun, banyak persamaan nonlinear tidak memiliki bentuk penyelesaian aljabar yang sederhana. Contohnya:

$$\sin(x) - \frac{x}{2} = 0$$ $$e^{-x} - x = 0$$ $$x^3 - x - 1 = 0$$

Untuk persamaan seperti ini, akar dicari melalui proses numerik secara bertahap. Pada bab ini, metode yang dipelajari adalah Bisection dan Regula Falsi. Keduanya disebut metode tertutup karena membutuhkan interval awal $[a,b]$ yang mengapit akar.

---

6.2 Capaian Pembelajaran

Setelah mempelajari bab ini, mahasiswa diharapkan mampu:

1. Menjelaskan konsep akar persamaan nonlinear.
2. Menafsirkan akar sebagai titik potong kurva dengan sumbu $x$.
3. Menjelaskan syarat perubahan tanda pada interval $[a,b]$.
4. Membedakan metode tertutup dan metode terbuka.
5. Menerapkan metode Bisection secara iteratif.
6. Menerapkan metode Regula Falsi secara iteratif.
7. Menghitung galat relatif hampiran.
8. Membandingkan kelebihan dan keterbatasan metode Bisection dan Regula Falsi.

---

6.3 Materi Inti

6.3.1 Konsep Akar Persamaan Nonlinear

Akar persamaan $f(x)=0$ adalah nilai $x$ yang membuat fungsi sama dengan nol.

Contoh:

$$f(x)=x^2-4$$

Akar persamaan tersebut diperoleh dari:

$$x^2-4=0$$ $$x^2=4$$ $$x=\pm 2$$

Namun, tidak semua persamaan dapat diselesaikan semudah itu. Persamaan seperti:

$$\cos(x)-x=0$$

tidak memiliki bentuk penyelesaian aljabar sederhana. Oleh karena itu, kita mencari akarnya menggunakan pendekatan numerik.

---

6.3.2 Interpretasi Grafis Akar

Secara grafis, akar persamaan $f(x)=0$ adalah titik saat kurva $y=f(x)$ memotong sumbu $x$.

Kondisi	Makna
$f(x)>0$	Kurva berada di atas sumbu $x$
$f(x)<0$	Kurva berada di bawah sumbu $x$
$f(x)=0$	Kurva memotong atau menyentuh sumbu $x$

Pemahaman grafis membantu kita memperkirakan lokasi akar sebelum melakukan perhitungan numerik.

---

6.3.3 Syarat Perubahan Tanda

Metode tertutup membutuhkan interval awal $[a,b]$ yang mengandung akar. Syarat cukup yang digunakan adalah:

$$f(a) \cdot f(b) < 0$$

Artinya, nilai fungsi di ujung kiri dan ujung kanan interval harus berbeda tanda.

Kondisi	Kesimpulan
$f(a) \cdot f(b) < 0$	Interval mengandung akar
$f(a) \cdot f(b) > 0$	Tidak dijamin ada akar
$f(a)=0$	$a$ adalah akar
$f(b)=0$	$b$ adalah akar

Syarat ini berlaku untuk fungsi kontinu. Jika fungsi tidak kontinu, perubahan tanda perlu diperiksa dengan lebih hati-hati.

---

6.3.4 Metode Tertutup dan Metode Terbuka

Metode pencarian akar dapat dibagi menjadi dua kelompok utama.

Jenis Metode	Karakteristik	Contoh
Metode tertutup	Membutuhkan dua titik awal yang mengapit akar	Bisection, Regula Falsi
Metode terbuka	Tidak harus mengapit akar, tetapi membutuhkan tebakan awal	Newton-Raphson, Secant

Metode tertutup lebih stabil karena akar tetap berada di dalam interval yang diperbarui. Namun, metode ini biasanya lebih lambat dibandingkan metode terbuka.

---

6.3.5 Metode Bisection

Metode Bisection atau metode bagi dua adalah metode tertutup yang bekerja dengan membagi interval menjadi dua bagian sama panjang.

Jika interval awal adalah $[a,b]$, maka titik tengahnya adalah:

$$c = \frac{a+b}{2}$$

Setelah $c$ diperoleh, nilai $f(c)$ dihitung. Kemudian interval baru dipilih berdasarkan perubahan tanda.

Langkah Metode Bisection

1. Tentukan interval awal $[a,b]$ dengan syarat:

   $$f(a)\cdot f(b)<0$$

2. Hitung titik tengah:

   $$c=\frac{a+b}{2}$$

3. Hitung nilai $f(c)$.

4. Jika $f(c)=0$, maka $c$ adalah akar.

5. Jika $f(a)\cdot f(c)<0$, maka akar berada pada interval $[a,c]$.

6. Jika $f(c)\cdot f(b)<0$, maka akar berada pada interval $[c,b]$.

7. Ulangi proses sampai galat cukup kecil atau jumlah iterasi maksimum tercapai.

---

6.3.6 Galat Relatif Hampiran

Dalam metode numerik, akar sebenarnya sering tidak diketahui. Oleh karena itu, kita menggunakan galat relatif hampiran untuk memantau perubahan hasil antariterasi.

Rumus galat relatif hampiran adalah:

$$E_r = \left|\frac{x_n - x_{n-1}}{x_n}\right| \times 100\%$$

Keterangan:

Simbol	Makna
$x_n$	Hasil hampiran iterasi sekarang
$x_{n-1}$	Hasil hampiran iterasi sebelumnya
$E_r$	Galat relatif hampiran

Semakin kecil nilai $E_r$, semakin kecil perubahan hasil antariterasi. Jika nilai galat sudah lebih kecil dari toleransi, iterasi dapat dihentikan.

---

6.3.7 Contoh Metode Bisection

Carilah akar persamaan:

$$f(x)=x^2-x-3$$

pada interval:

$$[2,4]$$

Gunakan metode Bisection sampai iterasi ke-3.

Langkah Awal

Cek syarat perubahan tanda:

$$f(2)=2^2-2-3=-1$$ $$f(4)=4^2-4-3=9$$

Karena:

$$f(2)\cdot f(4)=(-1)(9)=-9<0$$

maka interval $[2,4]$ mengandung akar.

Iterasi Bisection

Iterasi	$a$	$b$	$c=\frac{a+b}{2}$	$f(c)$	Interval Baru
1	2	4	3,000	3,000	$[2,3]$
2	2	3	2,500	0,750	$[2,2{,}5]$
3	2	2,5	2,250	-0,1875	$[2{,}25,2{,}5]$

Akar hampiran pada iterasi ke-3 adalah:

$$x_3 = 2{,}25$$

Galat relatif hampiran iterasi ke-3:

$$E_r = \left|\frac{2{,}25-2{,}5}{2{,}25}\right| \times 100\%$$ $$E_r = \frac{0{,}25}{2{,}25}\times 100\%$$ $$E_r \approx 11{,}11\%$$

Jadi, setelah tiga iterasi, akar hampiran adalah $2{,}25$ dengan galat relatif hampiran sekitar $11{,}11\%$.

---

6.3.8 Metode Regula Falsi

Metode Regula Falsi atau metode posisi palsu juga termasuk metode tertutup. Metode ini tetap membutuhkan interval awal $[a,b]$ yang memenuhi:

$$f(a)\cdot f(b)<0$$

Perbedaannya dengan Bisection terletak pada cara memilih titik hampiran. Bisection memilih titik tengah, sedangkan Regula Falsi menggunakan garis lurus yang menghubungkan titik $(a,f(a))$ dan $(b,f(b))$.

Rumus Regula Falsi adalah:

$$x = b - \frac{f(b)(b-a)}{f(b)-f(a)}$$

atau dapat juga ditulis:

$$x = \frac{a f(b)-b f(a)}{f(b)-f(a)}$$

Langkah Metode Regula Falsi

1. Tentukan interval awal $[a,b]$ dengan $f(a)\cdot f(b)<0$.

2. Hitung titik hampiran:

   $$x = b - \frac{f(b)(b-a)}{f(b)-f(a)}$$

3. Hitung nilai $f(x)$.

4. Jika $f(x)=0$, maka $x$ adalah akar.

5. Jika $f(a)\cdot f(x)<0$, maka akar berada pada interval $[a,x]$.

6. Jika $f(x)\cdot f(b)<0$, maka akar berada pada interval $[x,b]$.

7. Ulangi sampai galat cukup kecil.

---

6.3.9 Contoh Metode Regula Falsi

Gunakan fungsi yang sama:

$$f(x)=x^2-x-3$$

pada interval:

$$[2,4]$$

Syarat awal telah terpenuhi karena:

$$f(2)\cdot f(4)<0$$

Iterasi 1

Diketahui:

$$a=2, \quad f(a)=-1$$ $$b=4, \quad f(b)=9$$

Hitung:

$$x_1 = 4 - \frac{9(4-2)}{9-(-1)}$$ $$x_1 = 4 - \frac{18}{10}$$ $$x_1 = 2{,}2$$

Nilai fungsi:

$$f(2{,}2)=2{,}2^2-2{,}2-3=-0{,}36$$

Karena $f(2{,}2)$ negatif dan $f(4)$ positif, interval baru menjadi:

$$[2{,}2,4]$$

Iterasi 2

Diketahui:

$$a=2{,}2, \quad f(a)=-0{,}36$$ $$b=4, \quad f(b)=9$$

Hitung:

$$x_2 = 4 - \frac{9(4-2{,}2)}{9-(-0{,}36)}$$ $$x_2 = 4 - \frac{16{,}2}{9{,}36}$$ $$x_2 \approx 2{,}2692$$

Iterasi 3

Dengan cara yang sama, diperoleh:

$$x_3 \approx 2{,}2920$$

Ringkasan iterasi:

Iterasi	Akar Hampiran	Interval Baru
1	2,2000	$[2{,}2,4]$
2	2,2692	$[2{,}2692,4]$
3	2,2920	$[2{,}2920,4]$

Galat relatif hampiran iterasi ke-3:

$$E_r = \left|\frac{2{,}2920-2{,}2692}{2{,}2920}\right|\times 100\%$$ $$E_r \approx 0{,}995\%$$

Dibandingkan Bisection pada jumlah iterasi yang sama, Regula Falsi dapat memberikan hasil yang lebih dekat pada kasus ini.

---

6.3.10 Perbandingan Bisection dan Regula Falsi

Aspek	Bisection	Regula Falsi
Titik hampiran	Titik tengah interval	Titik potong garis lurus dengan sumbu $x$
Rumus	$c=\frac{a+b}{2}$	$x=b-\frac{f(b)(b-a)}{f(b)-f(a)}$
Syarat awal	$f(a)\cdot f(b)<0$	$f(a)\cdot f(b)<0$
Stabilitas	Sangat stabil	Stabil
Kecepatan	Lambat	Umumnya lebih cepat
Butuh turunan	Tidak	Tidak

Bisection cocok digunakan ketika kestabilan menjadi prioritas utama. Regula Falsi cocok digunakan ketika ingin mempertahankan kestabilan metode tertutup, tetapi dengan pendekatan yang biasanya lebih cepat.

---

6.4 Fitur Interaktif

Bagian ini dapat digunakan sebagai rancangan komponen interaktif pada halaman web.

6.4.1 Simulator Metode Tertutup

Input yang disediakan:

• Fungsi $f(x)$
• Interval awal $[a,b]$
• Toleransi error
• Jumlah iterasi maksimum
• Pilihan metode:
  • Bisection
  • Regula Falsi

Output yang ditampilkan:

• Grafik fungsi
• Titik $a$, $b$, dan akar hampiran
• Interval baru setiap iterasi
• Tabel iterasi
• Galat relatif hampiran

---

6.4.2 Tombol Next Iteration

Mahasiswa dapat menekan tombol Next Iteration untuk melihat proses iterasi satu per satu.

Setiap klik menampilkan:

1. Nilai $a$ dan $b$.
2. Nilai titik hampiran.
3. Nilai fungsi pada titik hampiran.
4. Interval baru.
5. Galat relatif hampiran.

Contoh tabel iterasi:

Iterasi	$a$	$b$	$x_r$	$f(x_r)$	Galat
1	2	4	3,000	3,000	-
2	2	3	2,500	0,750	20,00%
3	2	2,5	2,250	-0,1875	11,11%

---

6.4.3 Graph Panel

Graph panel menampilkan:

1. Kurva $y=f(x)$.
2. Sumbu $x$ sebagai garis akar.
3. Titik $a$ dan $b$.
4. Titik hampiran pada setiap iterasi.
5. Interval yang semakin menyempit.

Visualisasi ini membantu mahasiswa melihat bahwa metode tertutup bekerja dengan mempertahankan akar di dalam interval.

---

6.4.4 Predict the Next Step

Kuis interaktif dapat meminta mahasiswa menebak langkah berikutnya.

Contoh pertanyaan:

1. Jika $f(a)\cdot f(c)<0$, interval baru yang benar adalah apa?
2. Pada metode Bisection, jika $a=2$ dan $b=4$, berapa nilai titik tengah?
3. Jika $f(x_r)$ memiliki tanda yang sama dengan $f(a)$, bagian interval mana yang harus dibuang?
4. Mengapa interval awal harus memiliki perubahan tanda?

---

6.5 Contoh Soal

Contoh 6.1 Mengecek Syarat Keberadaan Akar

Diberikan fungsi:

$$f(x)=x^3-x-1$$

Tentukan interval mana yang memenuhi syarat keberadaan akar:

1. $[0,1]$
2. $[1,2]$
3. $[-1,0]$

Penyelesaian

Hitung nilai fungsi:

$$f(0)=0^3-0-1=-1$$ $$f(1)=1^3-1-1=-1$$

Untuk $[0,1]$:

$$f(0)\cdot f(1)=(-1)(-1)=1>0$$

Tidak dijamin ada akar.

Untuk $[1,2]$:

$$f(1)=-1$$ $$f(2)=2^3-2-1=5$$ $$f(1)\cdot f(2)=(-1)(5)=-5<0$$

Interval $[1,2]$ mengandung akar.

Untuk $[-1,0]$:

$$f(-1)=(-1)^3-(-1)-1=-1$$ $$f(0)=-1$$ $$f(-1)\cdot f(0)=1>0$$

Tidak dijamin ada akar.

Jadi, interval yang memenuhi syarat adalah:

$$[1,2]$$

---

Contoh 6.2 Bisection untuk $f(x)=x^3-x-1$

Gunakan metode Bisection untuk mencari akar:

$$f(x)=x^3-x-1$$

pada interval $[1,2]$ sampai iterasi ke-4.

Penyelesaian

Iterasi	$a$	$b$	$c$	$f(c)$	Interval Baru
1	1	2	1,5000	0,8750	$[1,1{,}5]$
2	1	1,5	1,2500	-0,2969	$[1{,}25,1{,}5]$
3	1,25	1,5	1,3750	0,2246	$[1{,}25,1{,}375]$
4	1,25	1,375	1,3125	-0,0515	$[1{,}3125,1{,}375]$

Akar hampiran iterasi ke-4:

$$x_4 = 1{,}3125$$

Galat relatif hampiran:

$$E_r = \left|\frac{1{,}3125-1{,}375}{1{,}3125}\right|\times 100\%$$ $$E_r \approx 4{,}76\%$$

Jadi, setelah empat iterasi, akar hampiran adalah $1{,}3125$.

---

Contoh 6.3 Regula Falsi untuk $e^{-x}-x=0$

Cari akar dari:

$$f(x)=e^{-x}-x$$

pada interval:

$$[0,1]$$

Gunakan dua iterasi Regula Falsi.

Penyelesaian

Cek syarat:

$$f(0)=e^0-0=1$$ $$f(1)=e^{-1}-1 \approx 0{,}3679-1=-0{,}6321$$

Karena:

$$f(0)\cdot f(1)<0$$

maka interval $[0,1]$ mengandung akar.

Iterasi 1

Gunakan rumus:

$$x_1=b-\frac{f(b)(b-a)}{f(b)-f(a)}$$

Dengan $a=0$, $b=1$, $f(a)=1$, dan $f(b)=-0{,}6321$:

$$x_1=1-\frac{(-0{,}6321)(1-0)}{-0{,}6321-1}$$ $$x_1 \approx 0{,}6127$$

Hitung:

$$f(0{,}6127)=e^{-0{,}6127}-0{,}6127 \approx -0{,}0708$$

Karena $f(0)$ positif dan $f(0{,}6127)$ negatif, interval baru menjadi:

$$[0,0{,}6127]$$

Iterasi 2

Dengan $a=0$, $b=0{,}6127$:

$$x_2 \approx 0{,}5722$$

Jadi, setelah dua iterasi, akar hampiran adalah:

$$x \approx 0{,}5722$$

Nilai ini sudah cukup dekat dengan akar sebenarnya, yaitu sekitar $0{,}5671$.

---

6.6 Latihan

Kerjakan latihan berikut secara sistematis.

1. Diberikan fungsi:

   $$f(x)=x^3-4x+1$$

   Coba nilai $x=-3,-2,-1,0,1,2,3$. Tentukan interval yang memenuhi syarat perubahan tanda.

2. Gunakan metode Bisection untuk mencari akar:

   $$f(x)=x^2-x-3$$

   pada interval $[2,4]$. Lakukan sampai iterasi ke-4 dan hitung galat relatif hampiran.

3. Gunakan metode Regula Falsi untuk fungsi:

   $$f(x)=x^2-x-3$$

   pada interval $[2,4]$. Lakukan sampai iterasi ke-4.

4. Untuk persamaan:

   $$\sin(x)-\frac{x}{2}=0$$

   pilih interval awal yang tidak memuat akar $x=0$, lalu lakukan tiga iterasi metode Bisection.

5. Jelaskan mengapa metode tertutup tidak cocok untuk mencari akar kembar pada fungsi:

   $$f(x)=(x-2)^2$$

6. Bandingkan metode Bisection dan Regula Falsi dari sisi kestabilan, kecepatan, dan kemudahan perhitungan.

---

6.7 Rangkuman

1. Akar persamaan nonlinear adalah nilai $x$ yang membuat $f(x)=0$.
2. Secara grafis, akar adalah titik ketika kurva $y=f(x)$ memotong sumbu $x$.
3. Metode tertutup membutuhkan interval awal $[a,b]$ yang mengapit akar.
4. Syarat perubahan tanda adalah $f(a)\cdot f(b)<0$.
5. Metode Bisection membagi interval menjadi dua bagian sama besar.
6. Titik tengah Bisection dihitung dengan rumus $c=\frac{a+b}{2}$.
7. Metode Regula Falsi menggunakan garis lurus antara dua titik ujung interval untuk memperkirakan akar.
8. Rumus Regula Falsi adalah $x=b-\frac{f(b)(b-a)}{f(b)-f(a)}$.
9. Galat relatif hampiran digunakan untuk mengukur perubahan hasil antariterasi.
10. Bisection sangat stabil tetapi relatif lambat.
11. Regula Falsi tetap stabil dan biasanya lebih cepat daripada Bisection.
12. Metode tertutup tidak membutuhkan turunan fungsi, sehingga cocok digunakan sebagai metode awal untuk mencari akar persamaan nonlinear.