Bab 7: Solusi Persamaan Nonlinear Metode Terbuka

7.1 Deskripsi Bab

Pada Bab 6, Anda telah mempelajari metode tertutup seperti Bisection dan Regula Falsi. Metode tertutup stabil karena akar selalu dijaga tetap berada di dalam interval tertentu. Namun, metode tersebut umumnya membutuhkan lebih banyak iterasi.

Bab ini membahas metode terbuka untuk mencari akar persamaan nonlinear. Berbeda dari metode tertutup, metode terbuka tidak harus menggunakan interval $[a,b]$ yang mengapit akar. Metode ini bekerja dari satu atau dua tebakan awal, kemudian memperbaiki tebakan tersebut secara berulang.

Metode terbuka biasanya lebih cepat, tetapi memiliki risiko. Jika tebakan awal buruk atau fungsi memiliki bentuk yang tidak sesuai, iterasi dapat menjauh dari akar. Oleh karena itu, pemahaman tentang konvergensi dan galat menjadi sangat penting.

Metode yang dibahas pada bab ini adalah Iterasi Titik Tetap, Newton-Raphson, dan Secant.

---

7.2 Capaian Pembelajaran

Setelah mempelajari bab ini, mahasiswa diharapkan mampu:

1. Menjelaskan perbedaan metode terbuka dan metode tertutup.
2. Mengubah persamaan $f(x)=0$ menjadi bentuk iterasi $x=g(x)$.
3. Menjelaskan syarat konvergensi iterasi titik tetap.
4. Menerapkan metode Iterasi Titik Tetap secara bertahap.
5. Menjelaskan konsep garis singgung pada metode Newton-Raphson.
6. Menerapkan metode Newton-Raphson untuk mencari akar persamaan nonlinear.
7. Menjelaskan konsep garis secant pada metode Secant.
8. Menerapkan metode Secant dengan dua tebakan awal.
9. Menghitung galat relatif hampiran pada setiap iterasi.
10. Membandingkan kelebihan dan keterbatasan metode terbuka.

---

7.3 Materi Inti

7.3.1 Konsep Dasar Metode Terbuka

Metode terbuka adalah metode pencarian akar yang tidak mewajibkan interval awal mengapit akar. Metode ini menggunakan tebakan awal, lalu memperbaikinya melalui rumus iteratif.

Ciri utama metode terbuka:

Ciri	Penjelasan
Tidak harus memakai interval $[a,b]$	Akar tidak selalu dikurung di dalam interval.
Menggunakan tebakan awal	Tebakan awal dapat berupa satu titik atau dua titik.
Lebih cepat jika berhasil	Jumlah iterasi sering lebih sedikit daripada metode tertutup.
Berisiko divergen	Iterasi dapat menjauh dari akar jika tebakan awal tidak baik.

Perbandingan umum:

Aspek	Metode Tertutup	Metode Terbuka
Tebakan awal	Dua titik yang mengapit akar	Satu atau dua titik, tidak harus mengapit akar
Stabilitas	Lebih stabil	Bergantung pada tebakan awal dan bentuk fungsi
Kecepatan	Lambat sampai sedang	Cepat jika konvergen
Risiko gagal	Lebih kecil	Lebih besar

Metode terbuka cocok digunakan ketika kita memiliki tebakan awal yang cukup dekat dengan akar.

---

7.3.2 Galat Relatif Hampiran

Galat relatif hampiran digunakan untuk mengukur perubahan hasil antariterasi. Rumusnya adalah:

$$E_r = \left|\frac{x_n-x_{n-1}}{x_n}\right| \times 100\%$$

Keterangan:

Simbol	Makna
$x_n$	Hampiran akar pada iterasi sekarang
$x_{n-1}$	Hampiran akar pada iterasi sebelumnya
$E_r$	Galat relatif hampiran

Jika nilai $E_r$ semakin kecil, maka perubahan hasil antariterasi juga semakin kecil. Iterasi dapat dihentikan jika $E_r$ sudah lebih kecil dari toleransi yang ditentukan.

---

7.3.3 Metode Iterasi Titik Tetap

Metode Iterasi Titik Tetap atau Fixed-Point Iteration bekerja dengan mengubah persamaan:

$$f(x)=0$$

menjadi bentuk:

$$x=g(x)$$

Nilai $x$ yang memenuhi $x=g(x)$ disebut titik tetap, karena jika nilai tersebut dimasukkan ke fungsi $g(x)$, hasilnya kembali ke nilai itu sendiri.

Rumus iterasinya adalah:

$$x_{n+1}=g(x_n)$$

Langkah-langkah metode Iterasi Titik Tetap:

1. Ubah persamaan $f(x)=0$ menjadi $x=g(x)$.
2. Tentukan tebakan awal $x_0$.
3. Hitung $x_1=g(x_0)$.
4. Hitung $x_2=g(x_1)$, dan lanjutkan iterasi.
5. Hitung galat relatif hampiran.
6. Hentikan iterasi jika galat sudah memenuhi toleransi.

---

7.3.4 Syarat Konvergensi Iterasi Titik Tetap

Tidak semua bentuk $g(x)$ akan menghasilkan iterasi yang konvergen. Syarat konvergensi lokal yang umum digunakan adalah:

$$|g'(x^*)| < 1$$

dengan $x^*$ sebagai akar atau titik tetap.

Interpretasinya:

Kondisi	Makna
$	g'(x^*)
$	g'(x^*)
$	g'(x^*)

Sebagai contoh, untuk persamaan:

$$x^2-2x-6=0$$

salah satu bentuk iterasi yang dapat digunakan adalah:

$$x=\sqrt{2x+6}$$

Sehingga rumus iterasinya menjadi:

$$x_{n+1}=\sqrt{2x_n+6}$$

Bentuk ini dapat konvergen menuju akar positif jika tebakan awal dipilih dengan baik.

---

7.3.5 Cobweb Diagram

Cobweb diagram adalah visualisasi proses Iterasi Titik Tetap. Diagram ini menampilkan bagaimana nilai tebakan berpindah dari $x_0$ ke $x_1$, lalu ke $x_2$, dan seterusnya.

Dua komponen utama dalam cobweb diagram adalah:

Komponen	Makna
Garis $y=x$	Garis referensi titik tetap
Kurva $y=g(x)$	Fungsi iterasi

Titik potong antara $y=x$ dan $y=g(x)$ menunjukkan titik tetap. Jika iterasi konvergen, lintasan cobweb akan bergerak mendekati titik potong tersebut.

---

7.3.6 Contoh Iterasi Titik Tetap

Gunakan metode Iterasi Titik Tetap untuk persamaan:

$$f(x)=x^2-2x-6=0$$

dengan bentuk iterasi:

$$x_{n+1}=\sqrt{2x_n+6}$$

dan tebakan awal:

$$x_0=0$$

Penyelesaian

Iterasi pertama:

$$x_1=\sqrt{2(0)+6}$$ $$x_1=\sqrt{6}=2{,}4495$$

Iterasi kedua:

$$x_2=\sqrt{2(2{,}4495)+6}$$ $$x_2=\sqrt{10{,}899}=3{,}3014$$

Iterasi ketiga:

$$x_3=\sqrt{2(3{,}3014)+6}$$ $$x_3=\sqrt{12{,}6028}=3{,}5500$$

Ringkasan iterasi:

Iterasi	Rumus	Hasil
0	Tebakan awal	0
1	$x_1=\sqrt{2x_0+6}$	2,4495
2	$x_2=\sqrt{2x_1+6}$	3,3014
3	$x_3=\sqrt{2x_2+6}$	3,5500

Galat relatif hampiran iterasi ke-3:

$$E_r=\left|\frac{3{,}5500-3{,}3014}{3{,}5500}\right|\times 100\%$$ $$E_r \approx 7{,}00\%$$

Hasil iterasi bergerak mendekati akar positif persamaan, yaitu sekitar $3{,}645$.

---

7.3.7 Metode Newton-Raphson

Metode Newton-Raphson adalah metode terbuka yang menggunakan garis singgung untuk memperkirakan akar berikutnya. Jika $x_n$ adalah tebakan saat ini, maka garis singgung di titik $(x_n, f(x_n))$ digunakan untuk menentukan tebakan baru.

Rumus Newton-Raphson adalah:

$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$

Keterangan:

Simbol	Makna
$x_n$	Tebakan akar pada iterasi ke-$n$
$f(x_n)$	Nilai fungsi pada tebakan saat ini
$f'(x_n)$	Nilai turunan fungsi pada tebakan saat ini
$x_{n+1}$	Tebakan akar berikutnya

Langkah-langkah Newton-Raphson:

1. Tentukan fungsi $f(x)$.
2. Hitung turunan $f'(x)$.
3. Tentukan tebakan awal $x_0$.
4. Hitung $x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$.
5. Hitung galat relatif hampiran.
6. Ulangi sampai galat lebih kecil dari toleransi.

Metode ini sangat cepat jika tebakan awal cukup dekat dengan akar. Namun, metode ini dapat gagal jika $f'(x_n)=0$ atau jika tebakan awal terlalu jauh dari akar.

---

7.3.8 Mengapa Newton-Raphson Bisa Gagal?

Newton-Raphson membutuhkan turunan $f'(x)$. Jika pada suatu iterasi nilai turunan sangat kecil atau mendekati nol, maka pembagian:

$$\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$

dapat menjadi sangat besar. Akibatnya, nilai $x_{n+1}$ dapat melompat jauh dari akar.

Beberapa penyebab kegagalan Newton-Raphson:

Penyebab	Dampak
Tebakan awal terlalu jauh	Iterasi dapat menuju akar lain atau divergen
$f'(x_n)=0$	Rumus tidak dapat digunakan karena terjadi pembagian dengan nol
$f'(x_n)$ sangat kecil	Langkah iterasi terlalu besar
Fungsi sangat berosilasi	Iterasi dapat melompat tidak stabil

Karena itu, Newton-Raphson sebaiknya digunakan ketika bentuk fungsi cukup dipahami dan tebakan awal cukup dekat dengan akar.

---

7.3.9 Contoh Newton-Raphson

Gunakan metode Newton-Raphson untuk mencari akar:

$$f(x)=x^2-2x-6$$

dengan tebakan awal:

$$x_0=0$$

Penyelesaian

Turunan fungsi:

$$f'(x)=2x-2$$

Rumus Newton-Raphson:

$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$

Ringkasan iterasi:

Iterasi	$x_n$	$f(x_n)$	$f'(x_n)$	$x_{n+1}$
1	0	-6	-2	-3
2	-3	9	-8	-1,875
3	-1,875	1,2656	-5,75	-1,6549

Galat relatif hampiran iterasi ke-3:

$$E_r=\left|\frac{-1{,}6549-(-1{,}875)}{-1{,}6549}\right|\times 100\%$$ $$E_r \approx 13{,}30\%$$

Hasil tersebut mendekati akar negatif persamaan, yaitu sekitar:

$$x \approx -1{,}6458$$

Tebakan awal memengaruhi akar yang ditemukan. Jika ingin mendekati akar positif, tebakan awal dapat dipilih di sekitar $x=4$.

---

7.3.10 Metode Secant

Metode Secant adalah metode terbuka yang mirip dengan Newton-Raphson, tetapi tidak membutuhkan turunan eksplisit. Metode ini mengganti turunan dengan pendekatan beda hingga menggunakan dua titik.

Rumus Secant adalah:

$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)(x_n-x_{n-1})}{f(x_n)-f(x_{n-1})}$$

Metode Secant membutuhkan dua tebakan awal, yaitu:

$$x_{n-1}$$

dan:

$$x_n$$

Keduanya tidak harus mengapit akar.

Perbedaan utama Newton-Raphson dan Secant:

Aspek	Newton-Raphson	Secant
Jumlah tebakan awal	Satu	Dua
Membutuhkan turunan $f'(x)$	Ya	Tidak
Dasar geometri	Garis singgung	Garis potong atau secant
Kecepatan	Sangat cepat jika konvergen	Cepat, tetapi bisa berosilasi
Risiko divergen	Ada	Ada

Secant cocok digunakan ketika turunan fungsi sulit dihitung secara analitik.

---

7.3.11 Contoh Metode Secant

Gunakan metode Secant untuk mencari akar:

$$f(x)=x^2-2x-6$$

dengan tebakan awal:

$$x_{-1}=0$$ $$x_0=1$$

Penyelesaian

Hitung nilai fungsi:

$$f(0)=0^2-2(0)-6=-6$$ $$f(1)=1^2-2(1)-6=-7$$

Rumus Secant:

$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)(x_n-x_{n-1})}{f(x_n)-f(x_{n-1})}$$

Iterasi 1:

$$x_1=1-\frac{(-7)(1-0)}{-7-(-6)}$$ $$x_1=1-\frac{-7}{-1}$$ $$x_1=-6$$

Iterasi 2:

$$x_2=-6-\frac{f(-6)(-6-1)}{f(-6)-f(1)}$$

Karena:

$$f(-6)=(-6)^2-2(-6)-6=42$$

maka:

$$x_2=-6-\frac{42(-7)}{42-(-7)}$$ $$x_2=-6-\frac{-294}{49}$$ $$x_2=0$$

Iterasi 3:

$$x_3=0-\frac{f(0)(0-(-6))}{f(0)-f(-6)}$$ $$x_3=0-\frac{(-6)(6)}{-6-42}$$ $$x_3=-0{,}75$$

Ringkasan iterasi:

Iterasi	$x_{n-1}$	$x_n$	$f(x_n)$	$x_{n+1}$
1	0	1	-7	-6
2	1	-6	42	0
3	-6	0	-6	-0,75

Galat relatif hampiran iterasi ke-3:

$$E_r=\left|\frac{-0{,}75-0}{-0{,}75}\right|\times 100\%$$ $$E_r = 100\%$$

Pada awal iterasi, Secant dapat menghasilkan galat besar. Namun, pada banyak kasus, iterasi berikutnya dapat mulai mendekati akar jika titik awal masih berada dalam pola konvergen.

---

7.3.12 Perbandingan Metode Pencari Akar

Metode	Jenis	Butuh Turunan?	Kestabilan	Kecepatan
Bisection	Tertutup	Tidak	Sangat stabil	Lambat
Regula Falsi	Tertutup	Tidak	Stabil	Sedang
Iterasi Titik Tetap	Terbuka	Tidak	Bergantung pada $g(x)$	Bergantung pada $
Newton-Raphson	Terbuka	Ya	Bisa divergen	Sangat cepat
Secant	Terbuka	Tidak	Bisa divergen	Cepat

Tidak ada satu metode yang selalu paling baik untuk semua masalah. Jika kestabilan menjadi prioritas, metode tertutup lebih aman. Jika kecepatan menjadi prioritas dan tebakan awal cukup baik, metode terbuka dapat menjadi pilihan yang lebih efisien.

---

7.4 Fitur Interaktif

Bagian ini dapat digunakan sebagai rancangan komponen interaktif pada halaman web.

7.4.1 Simulator Metode Terbuka

Input yang disediakan:

• Fungsi $f(x)$
• Turunan $f'(x)$, khusus untuk Newton-Raphson
• Tebakan awal $x_0$
• Tebakan kedua $x_{-1}$, khusus untuk Secant
• Toleransi error
• Jumlah iterasi maksimum
• Pilihan metode:
  • Iterasi Titik Tetap
  • Newton-Raphson
  • Secant

Output yang ditampilkan:

• Akar hampiran
• Tabel iterasi
• Error per iterasi
• Status konvergen atau divergen
• Pesan interpretasi

---

7.4.2 Graph Panel

Graph panel menampilkan:

1. Kurva $y=f(x)$.
2. Titik tebakan awal.
3. Titik iterasi berikutnya.
4. Garis singgung Newton-Raphson.
5. Garis secant untuk metode Secant.
6. Titik potong dengan sumbu $x$.

Visualisasi ini membantu mahasiswa memahami bahwa Newton-Raphson menggunakan garis singgung, sedangkan Secant menggunakan garis potong dua titik.

---

7.4.3 Iteration Table

Tabel iterasi menampilkan perkembangan nilai dari satu iterasi ke iterasi berikutnya.

Contoh untuk Newton-Raphson:

Iterasi	$x_n$	$f(x_n)$	$f'(x_n)$	$x_{n+1}$	$E_r$
1	1,5000	0,8750	5,7500	1,3478	-
2	1,3478	0,1009	4,4498	1,3252	1,71%
3	1,3252	0,0021	4,2680	1,3247	0,038%

---

7.4.4 Compare Mode

Compare mode menampilkan hasil beberapa metode secara berdampingan.

Contoh:

Metode	Tebakan Awal	Hasil Setelah 3 Iterasi	Catatan
Bisection	Interval $[1,2]$	1,3125	Stabil tetapi lambat
Newton-Raphson	$x_0=1{,}5$	1,3247	Cepat jika tebakan baik
Secant	$x_{-1}=0{,}5$, $x_0=1$	0,73906 untuk $\cos(x)-x$	Tidak butuh turunan

---

7.4.5 Predict the Next Step

Contoh kuis interaktif:

1. Jika $f'(x_n)=0$, apa yang terjadi pada metode Newton-Raphson?
2. Pada Newton-Raphson, apakah garis yang digunakan adalah garis singgung atau garis secant?
3. Pada metode Secant, berapa jumlah tebakan awal yang dibutuhkan?
4. Mengapa metode terbuka dapat lebih cepat tetapi lebih berisiko?

---

7.5 Contoh Soal

Contoh 7.1 Cek Konvergensi Iterasi Titik Tetap

Diberikan persamaan:

$$x^3-x-1=0$$

Periksa apakah bentuk iterasi berikut konvergen di sekitar akar $x^* \approx 1{,}3247$.

1. $g(x)=x^3-1$
2. $g(x)=(x+1)^{1/3}$

Penyelesaian

Untuk bentuk pertama:

$$g(x)=x^3-1$$

Turunannya:

$$g'(x)=3x^2$$

Substitusi $x^* \approx 1{,}3247$:

$$|g'(1{,}3247)|=3(1{,}3247)^2$$ $$|g'(1{,}3247)| \approx 5{,}26$$

Karena:

$$|g'(x^*)|>1$$

maka bentuk pertama cenderung divergen.

Untuk bentuk kedua:

$$g(x)=(x+1)^{1/3}$$

Turunannya:

$$g'(x)=\frac{1}{3}(x+1)^{-2/3}$$

Substitusi $x^* \approx 1{,}3247$:

$$|g'(1{,}3247)| \approx 0{,}189$$

Karena:

$$|g'(x^*)|<1$$

maka bentuk kedua cenderung konvergen.

Jadi, bentuk iterasi yang lebih layak digunakan adalah:

$$g(x)=(x+1)^{1/3}$$

---

Contoh 7.2 Newton-Raphson untuk $x^3-x-1=0$

Gunakan metode Newton-Raphson untuk mencari akar:

$$f(x)=x^3-x-1$$

dengan tebakan awal:

$$x_0=1{,}5$$

Lakukan tiga iterasi.

Penyelesaian

Turunan fungsi:

$$f'(x)=3x^2-1$$

Rumus Newton-Raphson:

$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$

Tabel iterasi:

Iterasi	$x_n$	$f(x_n)$	$f'(x_n)$	$x_{n+1}$
1	1,5000	0,8750	5,7500	1,3478
2	1,3478	0,1009	4,4498	1,3252
3	1,3252	0,0021	4,2680	1,3247

Galat relatif hampiran iterasi ke-3:

$$E_r=\left|\frac{1{,}3247-1{,}3252}{1{,}3247}\right|\times 100\%$$ $$E_r \approx 0{,}038\%$$

Jadi, setelah tiga iterasi, akar hampiran adalah:

$$x \approx 1{,}3247$$

Metode Newton-Raphson menghasilkan pendekatan yang cepat karena tebakan awal cukup dekat dengan akar.

---

Contoh 7.3 Secant untuk $\cos(x)-x=0$

Gunakan metode Secant untuk mencari akar:

$$f(x)=\cos(x)-x$$

dengan tebakan awal:

$$x_{-1}=0{,}5$$ $$x_0=1$$

Lakukan tiga iterasi.

Penyelesaian

Nilai fungsi awal:

$$f(0{,}5)=\cos(0{,}5)-0{,}5 \approx 0{,}3776$$ $$f(1)=\cos(1)-1 \approx -0{,}4597$$

Rumus Secant:

$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)(x_n-x_{n-1})}{f(x_n)-f(x_{n-1})}$$

Iterasi 1:

$$x_1=1-\frac{(-0{,}4597)(1-0{,}5)}{-0{,}4597-0{,}3776}$$ $$x_1 \approx 0{,}7254$$

Iterasi 2:

$$x_2 \approx 0{,}7383$$

Iterasi 3:

$$x_3 \approx 0{,}73906$$

Galat relatif hampiran iterasi ke-3:

$$E_r=\left|\frac{0{,}73906-0{,}7383}{0{,}73906}\right|\times 100\%$$ $$E_r \approx 0{,}10\%$$

Jadi, setelah tiga iterasi, akar hampiran adalah:

$$x \approx 0{,}73906$$

Nilai ini dekat dengan akar sebenarnya dari $\cos(x)=x$, yaitu sekitar $0{,}7391$.

---

7.6 Latihan

Kerjakan latihan berikut secara sistematis.

1. Untuk persamaan:

   $$e^x-3x=0$$

   Susun dua bentuk $x=g(x)$ yang berbeda. Periksa secara konseptual bentuk mana yang lebih mungkin konvergen.

2. Gunakan metode Iterasi Titik Tetap untuk persamaan:

   $$x^2-2x-6=0$$

   dengan bentuk:

   $$x_{n+1}=\sqrt{2x_n+6}$$

   Gunakan $x_0=0$, lakukan lima iterasi, lalu hitung galat relatif hampiran iterasi terakhir.

3. Gunakan metode Newton-Raphson untuk mencari akar:

   $$f(x)=x^3-2x-5$$

   dengan tebakan awal:

   $$x_0=2$$

   Lakukan empat iterasi dan hitung galat relatif hampiran tiap iterasi.

4. Gunakan metode Secant untuk mencari akar:

   $$f(x)=e^{-x}-x$$

   dengan tebakan awal:

   $$x_{-1}=0$$ $$x_0=1$$

   Lakukan tiga iterasi.

5. Jelaskan mengapa Newton-Raphson dapat gagal ketika tebakan awal berada di titik dengan $f'(x)$ sangat kecil.

6. Bandingkan Newton-Raphson dan Secant dari sisi kebutuhan turunan, jumlah tebakan awal, kecepatan, dan risiko divergensi.

7. Dalam konteks rangkaian dioda, persamaan arus dapat ditulis:

   $$I=I_s\left(e^{V/V_t}-1\right)$$

   Jelaskan mengapa metode Newton-Raphson cocok digunakan untuk mencari tegangan $V$, tetapi tetap membutuhkan tebakan awal yang baik.

---

7.7 Rangkuman

1. Metode terbuka adalah metode pencarian akar yang tidak harus menjaga akar berada di dalam interval tertentu.
2. Metode terbuka biasanya lebih cepat daripada metode tertutup, tetapi memiliki risiko divergensi.
3. Iterasi Titik Tetap mengubah persamaan $f(x)=0$ menjadi bentuk $x=g(x)$.
4. Rumus Iterasi Titik Tetap adalah $x_{n+1}=g(x_n)$.
5. Syarat konvergensi Iterasi Titik Tetap adalah $|g'(x^*)|<1$.
6. Newton-Raphson menggunakan garis singgung untuk memperkirakan akar berikutnya.
7. Rumus Newton-Raphson adalah $x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$.
8. Newton-Raphson sangat cepat jika tebakan awal baik, tetapi dapat gagal jika $f'(x_n)=0$ atau tebakan awal buruk.
9. Secant menggunakan dua tebakan awal dan tidak membutuhkan turunan eksplisit.
10. Rumus Secant adalah $x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)(x_n-x_{n-1})}{f(x_n)-f(x_{n-1})}$.
11. Newton-Raphson biasanya lebih cepat, sedangkan Secant lebih praktis ketika turunan fungsi sulit dihitung.
12. Pemilihan metode pencarian akar harus mempertimbangkan kestabilan, kecepatan, ketersediaan turunan, dan kualitas tebakan awal.