Bab 4: Diferensiasi Numerik Lanjut

4.1 Deskripsi Bab

Pada Bab 3, Anda telah mempelajari rumus beda maju dan beda mundur untuk menghitung turunan numerik. Kedua metode tersebut mudah digunakan, tetapi akurasinya masih terbatas karena memiliki error berorde $O(h)$.

Bab ini membahas metode diferensiasi numerik yang lebih akurat. Fokus utama bab ini adalah aproksimasi pusat atau central difference, turunan kedua numerik, serta konsep higher order approximation melalui ekstrapolasi Richardson. Dengan memahami bab ini, Anda dapat melihat bahwa akurasi hasil numerik tidak hanya ditentukan oleh kecilnya nilai $h$, tetapi juga oleh pemilihan metode yang tepat.

---

4.2 Capaian Pembelajaran

Setelah mempelajari bab ini, mahasiswa diharapkan mampu:

1. Menjelaskan kelemahan beda maju dan beda mundur.
2. Menjelaskan prinsip kerja aproksimasi pusat.
3. Menggunakan rumus aproksimasi pusat untuk menghitung turunan pertama.
4. Menjelaskan mengapa aproksimasi pusat lebih akurat daripada beda maju dan beda mundur.
5. Menggunakan rumus turunan kedua numerik.
6. Menjelaskan konsep higher order approximation.
7. Menggunakan ekstrapolasi Richardson untuk meningkatkan akurasi.
8. Membandingkan akurasi beda maju, beda mundur, aproksimasi pusat, dan metode orde tinggi.

---

4.3 Materi Inti

4.3.1 Mengapa Membutuhkan Metode yang Lebih Akurat?

Beda maju dan beda mundur memiliki bentuk yang sederhana:

$$f'(x) \approx \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$ $$f'(x) \approx \frac{f(x)-f(x-h)}{h}$$

Kedua metode tersebut hanya menggunakan satu sisi dari titik $x$. Beda maju menggunakan titik di depan, sedangkan beda mundur menggunakan titik di belakang. Karena hanya melihat satu sisi, error yang dihasilkan relatif lebih besar dibandingkan metode yang menggunakan informasi dari dua sisi sekaligus.

Dalam perhitungan teknik, akurasi sering menjadi faktor penting. Misalnya, ketika menghitung kecepatan dari data posisi, arus dari perubahan muatan, atau percepatan dari data sensor, error kecil dapat memengaruhi interpretasi sistem. Oleh karena itu, diperlukan metode yang lebih akurat.

---

4.3.2 Review Beda Maju dan Beda Mundur

Metode	Rumus	Orde Error
Beda maju	$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$	$O(h)$
Beda mundur	$\frac{f(x)-f(x-h)}{h}$	$O(h)$

Error $O(h)$ berarti error berkurang secara linear terhadap nilai $h$. Jika $h$ diperkecil menjadi setengah, maka error biasanya juga berkurang sekitar setengah.

Namun, memperkecil $h$ tidak selalu menjadi solusi terbaik. Jika $h$ terlalu kecil, error pembulatan dapat meningkat karena keterbatasan floating point. Karena itu, metode dengan orde error lebih tinggi sering lebih disukai.

---

4.3.3 Aproksimasi Pusat

Aproksimasi pusat atau central difference menggunakan nilai fungsi di sebelah kanan dan sebelah kiri titik $x$. Rumusnya adalah:

$$f'(x) \approx \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}$$

Metode ini disebut "pusat" karena titik $x$ berada di tengah antara $x-h$ dan $x+h$.

Titik	Peran
$x-h$	Titik di kiri
$x$	Titik pusat yang dicari turunannya
$x+h$	Titik di kanan

Aproksimasi pusat biasanya lebih akurat daripada beda maju dan beda mundur karena menggunakan informasi dari dua sisi secara seimbang.

---

4.3.4 Mengapa Aproksimasi Pusat Lebih Akurat?

Gunakan dua ekspansi Taylor di sekitar $x$:

$$f(x+h) = f(x) + h f'(x) + \frac{h^2}{2!}f''(x) + \frac{h^3}{3!}f'''(x) + \cdots$$ $$f(x-h) = f(x) - h f'(x) + \frac{h^2}{2!}f''(x) - \frac{h^3}{3!}f'''(x) + \cdots$$

Jika persamaan pertama dikurangi persamaan kedua, maka beberapa suku akan saling menghilangkan:

$$f(x+h)-f(x-h) = 2h f'(x) + \frac{2h^3}{3!}f'''(x) + \cdots$$

Bagi kedua ruas dengan $2h$:

$$\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h} = f'(x) + \frac{h^2}{6}f'''(x) + \cdots$$

Suku error dominan mengandung $h^2$. Karena itu, aproksimasi pusat memiliki error:

$$O(h^2)$$

Artinya, jika $h$ diperkecil menjadi setengah, error dapat berkurang sekitar empat kali.

---

4.3.5 Turunan Kedua Numerik

Turunan kedua digunakan untuk melihat kelengkungan fungsi. Dalam konteks fisika dan teknik, jika fungsi menyatakan posisi, maka turunan pertama menyatakan kecepatan dan turunan kedua menyatakan percepatan.

Rumus turunan kedua numerik adalah:

$$f''(x) \approx \frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2}$$

Rumus ini diperoleh dari penjumlahan dua ekspansi Taylor $f(x+h)$ dan $f(x-h)$. Turunan kedua numerik juga memiliki error berorde:

$$O(h^2)$$

Turunan	Makna Umum	Contoh Fisik
$f'(x)$	Laju perubahan	Kecepatan
$f''(x)$	Kelengkungan atau perubahan laju	Percepatan

---

4.3.6 Higher Order Approximation

Higher order approximation adalah pendekatan numerik dengan orde error yang lebih tinggi. Tujuannya adalah memperoleh hasil yang lebih akurat tanpa harus membuat $h$ terlalu kecil.

Prinsip utamanya adalah mengurangi atau menghilangkan suku error dominan dari metode yang sudah ada.

Metode	Orde Error
Beda maju	$O(h)$
Beda mundur	$O(h)$
Aproksimasi pusat	$O(h^2)$
Metode orde tinggi	$O(h^4)$ atau lebih tinggi

Metode dengan orde lebih tinggi biasanya memberikan error yang jauh lebih kecil untuk nilai $h$ yang sama.

---

4.3.7 Ekstrapolasi Richardson

Ekstrapolasi Richardson adalah teknik untuk meningkatkan akurasi hasil aproksimasi numerik. Caranya adalah menggabungkan dua hasil perhitungan dengan ukuran langkah berbeda, yaitu $h$ dan $h/2$.

Misalkan $D(h)$ adalah hasil aproksimasi pusat dengan langkah $h$, dan $D(h/2)$ adalah hasil aproksimasi pusat dengan langkah $h/2$. Rumus Richardson adalah:

$$D_{\text{refined}} = \frac{4D(h/2)-D(h)}{3}$$

Rumus ini dapat meningkatkan orde error dari $O(h^2)$ menjadi $O(h^4)$.

Simbol	Makna
$D(h)$	Hasil aproksimasi dengan langkah $h$
$D(h/2)$	Hasil aproksimasi dengan langkah setengah dari $h$
$D_{\text{refined}}$	Hasil yang sudah diperbaiki dengan Richardson

Ekstrapolasi Richardson berguna ketika hasil aproksimasi pusat sudah cukup baik, tetapi masih perlu ditingkatkan akurasinya.

---

4.3.8 Rumus 4 Titik Central Difference

Selain Richardson, turunan pertama berorde tinggi juga dapat dihitung dengan rumus 4 titik central difference:

$$f'(x) \approx \frac{-f(x+2h)+8f(x+h)-8f(x-h)+f(x-2h)}{12h}$$

Rumus ini memiliki error berorde:

$$O(h^4)$$

Rumus ini menggunakan empat titik di sekitar $x$, yaitu $x-2h$, $x-h$, $x+h$, dan $x+2h$. Karena menggunakan lebih banyak informasi di sekitar titik pusat, hasilnya dapat menjadi jauh lebih akurat.

---

4.3.9 Perbandingan Akurasi Metode

Metode	Rumus Utama	Orde Error	Jika $h$ Diperkecil Setengah
Beda maju	$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$	$O(h)$	Error turun sekitar 2 kali
Beda mundur	$\frac{f(x)-f(x-h)}{h}$	$O(h)$	Error turun sekitar 2 kali
Aproksimasi pusat	$\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}$	$O(h^2)$	Error turun sekitar 4 kali
Richardson	$\frac{4D(h/2)-D(h)}{3}$	$O(h^4)$	Error turun sekitar 16 kali
4 titik central difference	$\frac{-f(x+2h)+8f(x+h)-8f(x-h)+f(x-2h)}{12h}$	$O(h^4)$	Error turun sekitar 16 kali

Pesan penting dari perbandingan ini adalah bahwa akurasi tidak hanya bergantung pada kecilnya $h$, tetapi juga pada orde metode yang digunakan.

---

4.4 Fitur Interaktif

Bagian ini dapat digunakan sebagai rancangan komponen interaktif pada halaman web.

4.4.1 Simulator Diferensiasi Numerik

Input yang disediakan:

• Fungsi $f(x)$
• Titik $x$
• Nilai $h$
• Metode yang dipilih:
  • Beda maju
  • Beda mundur
  • Aproksimasi pusat
  • Richardson
  • 4 titik central difference

Output yang ditampilkan:

• Nilai turunan numerik
• Nilai turunan eksak
• Error absolut
• Error relatif
• Interpretasi akurasi metode

---

4.4.2 Graph Panel

Graph panel menampilkan:

1. Kurva fungsi $f(x)$.
2. Titik $x-h$, $x$, dan $x+h$.
3. Garis secant untuk metode beda maju dan beda mundur.
4. Garis aproksimasi pusat.
5. Garis singgung eksak jika turunan analitik tersedia.

Tujuan visualisasi ini adalah membantu mahasiswa memahami bahwa turunan numerik sebenarnya menghitung kemiringan garis pendekatan.

---

4.4.3 Slider Nilai $h$

Mahasiswa dapat mengubah nilai $h$ menggunakan slider.

Yang diamati:

Perubahan $h$	Dampak Umum
$h$ besar	Pendekatan kurang akurat
$h$ lebih kecil	Error biasanya menurun
$h$ terlalu kecil	Error pembulatan dapat mulai terlihat

Fitur ini penting agar mahasiswa memahami bahwa nilai $h$ harus dipilih secara hati-hati.

---

4.4.4 Compare Mode

Compare mode menampilkan beberapa metode dalam satu layar.

Contoh tampilan:

Metode	Hasil Turunan	Error Absolut
Beda maju	7,7711	0,3820
Beda mundur	7,0316	0,3575
Aproksimasi pusat	7,4014	0,0123
4 titik central difference	7,3890	sangat kecil

Fitur ini membantu mahasiswa melihat bahwa metode dengan orde lebih tinggi dapat menghasilkan error jauh lebih kecil walaupun menggunakan nilai $h$ yang sama.

---

4.5 Contoh Soal

Contoh 4.1 Aproksimasi Pusat untuk $f(x)=\cos(x)$

Hitung $f'(\pi/4)$ untuk:

$$f(x)=\cos(x)$$

Gunakan aproksimasi pusat dengan $h=0{,}1$.

Penyelesaian

Rumus aproksimasi pusat:

$$f'(x) \approx \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}$$

Diketahui:

$$x = \frac{\pi}{4} \approx 0{,}785398$$ $$h = 0{,}1$$

Hitung nilai fungsi:

$$f(x+h) = \cos(0{,}885398) \approx 0{,}633551$$ $$f(x-h) = \cos(0{,}685398) \approx 0{,}774303$$

Maka:

$$f'\left(\frac{\pi}{4}\right) \approx \frac{0{,}633551-0{,}774303}{2(0{,}1)}$$ $$f'\left(\frac{\pi}{4}\right) \approx \frac{-0{,}140752}{0{,}2}$$ $$f'\left(\frac{\pi}{4}\right) \approx -0{,}70376$$

Nilai eksak:

$$f'(x) = -\sin(x)$$ $$f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \approx -0{,}707107$$

Error absolut:

$$E_a = |-0{,}707107 - (-0{,}70376)|$$ $$E_a \approx 0{,}00335$$

Jadi, hasil aproksimasi pusat cukup dekat dengan nilai eksak.

---

Contoh 4.2 Turunan Kedua Numerik untuk $f(x)=x^3$

Hitung $f''(1)$ untuk:

$$f(x)=x^3$$

Gunakan rumus turunan kedua numerik dengan $h=0{,}1$.

Penyelesaian

Rumus turunan kedua numerik:

$$f''(x) \approx \frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2}$$

Diketahui:

$$x=1$$ $$h=0{,}1$$

Hitung nilai fungsi:

$$f(1{,}1)=1{,}1^3=1{,}331$$ $$f(1)=1^3=1$$ $$f(0{,}9)=0{,}9^3=0{,}729$$

Maka:

$$f''(1) \approx \frac{1{,}331 - 2(1) + 0{,}729}{0{,}1^2}$$ $$f''(1) \approx \frac{0{,}060}{0{,}01}$$ $$f''(1) \approx 6$$

Nilai eksak:

$$f'(x)=3x^2$$ $$f''(x)=6x$$ $$f''(1)=6$$

Jadi, hasil numerik sama dengan nilai eksak untuk kasus ini.

---

Contoh 4.3 Ekstrapolasi Richardson

Hitung $f'(1)$ untuk:

$$f(x)=\ln(x)$$

Diketahui hasil aproksimasi pusat:

$$D(0{,}2)=1{,}01366$$ $$D(0{,}1)=1{,}00336$$

Gunakan ekstrapolasi Richardson.

Penyelesaian

Rumus Richardson:

$$D_{\text{refined}} = \frac{4D(h/2)-D(h)}{3}$$

Dengan:

$$D(h)=D(0{,}2)=1{,}01366$$ $$D(h/2)=D(0{,}1)=1{,}00336$$

Maka:

$$D_{\text{refined}} = \frac{4(1{,}00336)-1{,}01366}{3}$$ $$D_{\text{refined}} = \frac{4{,}01344-1{,}01366}{3}$$ $$D_{\text{refined}} = \frac{2{,}99978}{3}$$ $$D_{\text{refined}} \approx 0{,}99993$$

Nilai eksak:

$$f'(x)=\frac{1}{x}$$ $$f'(1)=1$$

Error absolut setelah Richardson:

$$E_a = |1-0{,}99993| = 0{,}00007$$

Jadi, ekstrapolasi Richardson meningkatkan akurasi secara signifikan.

---

4.6 Latihan

Kerjakan latihan berikut secara sistematis.

1. Diberikan fungsi:

   $$f(x)=e^x$$

   Hitung $f'(1)$ menggunakan beda maju, beda mundur, dan aproksimasi pusat dengan $h=0{,}1$. Bandingkan hasilnya dengan nilai eksak $e^1 \approx 2{,}71828$.

2. Buktikan secara sederhana bahwa aproksimasi pusat memiliki error berorde $O(h^2)$ dengan menggunakan dua ekspansi Taylor $f(x+h)$ dan $f(x-h)$.

3. Diberikan fungsi:

   $$f(x)=x^4$$

   Hitung $f''(2)$ menggunakan rumus turunan kedua numerik dengan $h=0{,}1$. Bandingkan dengan nilai eksaknya.

4. Diketahui hasil aproksimasi pusat untuk suatu fungsi:

   $$D(0{,}2)=1{,}9750$$ $$D(0{,}1)=1{,}9938$$

   Gunakan ekstrapolasi Richardson untuk memperoleh $D_{\text{refined}}$.

5. Jelaskan mengapa metode dengan orde error lebih tinggi dapat lebih efektif daripada hanya memperkecil nilai $h$.

6. Berikan satu contoh penerapan diferensiasi numerik dalam bidang teknik elektro, lalu jelaskan metode mana yang menurut Anda paling sesuai digunakan.

---

4.7 Rangkuman

1. Beda maju dan beda mundur memiliki error berorde $O(h)$.
2. Aproksimasi pusat menggunakan nilai fungsi di kiri dan kanan titik $x$.
3. Rumus aproksimasi pusat adalah $\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}$.
4. Aproksimasi pusat memiliki error berorde $O(h^2)$, sehingga lebih akurat daripada beda maju dan beda mundur.
5. Turunan kedua numerik dihitung dengan rumus $\frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2}$.
6. Higher order approximation bertujuan meningkatkan akurasi dengan mengurangi suku error dominan.
7. Ekstrapolasi Richardson menggabungkan hasil dengan langkah $h$ dan $h/2$ untuk meningkatkan akurasi.
8. Rumus 4 titik central difference memiliki error berorde $O(h^4)$.
9. Akurasi hasil numerik dipengaruhi oleh nilai $h$, orde metode, dan potensi error pembulatan.
10. Dalam perhitungan teknik, metode berorde lebih tinggi sering lebih efektif karena mampu menurunkan error secara signifikan tanpa harus membuat $h$ terlalu kecil.