Bab 3: Deret Taylor dan Aproksimasi Turunan

3.1 Deskripsi Bab

Bab ini membahas deret Taylor sebagai salah satu dasar penting dalam metode numerik. Deret Taylor digunakan untuk mendekati fungsi matematika yang kompleks dengan bentuk penjumlahan suku-suku sederhana.

Dalam komputasi numerik, komputer tidak selalu menghitung fungsi seperti $\sin(x)$, $\cos(x)$, atau $e^x$ secara langsung. Fungsi tersebut dapat didekati menggunakan deret Taylor. Namun, karena komputer tidak mungkin menghitung deret tak hingga, proses perhitungan harus dihentikan pada jumlah suku tertentu. Penghentian inilah yang menyebabkan truncation error.

Pada bab ini, Anda akan mempelajari pengertian deret Taylor, bentuk matematisnya, hubungan antara jumlah suku dan akurasi, serta bagaimana rumus turunan numerik sederhana seperti beda maju dan beda mundur dapat diturunkan dari deret Taylor.

---

3.2 Capaian Pembelajaran

Setelah mempelajari bab ini, mahasiswa diharapkan mampu:

1. Menjelaskan peran deret Taylor dalam metode numerik.
2. Menuliskan bentuk umum deret Taylor.
3. Menjelaskan hubungan antara pemotongan deret Taylor dan truncation error.
4. Menggunakan deret Taylor untuk mendekati nilai fungsi sederhana.
5. Menjelaskan pengaruh jumlah suku terhadap akurasi pendekatan.
6. Menurunkan rumus beda maju dari deret Taylor.
7. Menurunkan rumus beda mundur dari deret Taylor.
8. Menghitung turunan numerik sederhana menggunakan beda maju dan beda mundur.

---

3.3 Materi Inti

3.3.1 Mengapa Deret Taylor Penting?

Deret Taylor penting karena banyak fungsi matematika dapat didekati melalui penjumlahan suku-suku sederhana. Komputer lebih mudah menghitung operasi dasar seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan pangkat daripada memanipulasi fungsi secara simbolik.

Contoh fungsi yang sering didekati menggunakan deret Taylor adalah:

Fungsi	Contoh Penggunaan
$e^x$	Pertumbuhan, peluruhan, sistem kontrol
$\sin(x)$	Gelombang, sinyal, osilasi
$\cos(x)$	Analisis sinyal dan getaran
$\ln(x)$	Transformasi data dan model nonlinier

Dalam metode numerik, deret Taylor menjadi dasar untuk memahami berbagai rumus aproksimasi, termasuk turunan numerik, integrasi numerik, dan beberapa metode iteratif.

---

3.3.2 Gagasan Dasar Deret Taylor

Misalkan kita mengetahui nilai fungsi $f(x)$ pada suatu titik $x$. Kita ingin memperkirakan nilai fungsi pada titik yang dekat, yaitu $x + h$, dengan $h$ sebagai langkah kecil.

Deret Taylor menyatakan bahwa nilai fungsi di sekitar titik tersebut dapat diperkirakan dari nilai fungsi saat ini dan turunan-turunannya.

Secara umum:

$$f(x+h) = f(x) + h f'(x) + \frac{h^2}{2!} f''(x) + \frac{h^3}{3!} f'''(x) + \cdots$$

Setiap suku memiliki peran:

Suku	Makna
$f(x)$	Nilai awal fungsi pada titik $x$
$h f'(x)$	Koreksi berdasarkan kemiringan fungsi
$\frac{h^2}{2!}f''(x)$	Koreksi berdasarkan kelengkungan fungsi
$\frac{h^3}{3!}f'''(x)$	Koreksi lanjutan untuk meningkatkan akurasi

Semakin banyak suku yang digunakan, biasanya hasil pendekatan semakin dekat dengan nilai sebenarnya.

---

3.3.3 Bentuk Umum Deret Taylor

Jika fungsi dikembangkan di sekitar titik $a$, bentuk umum deret Taylor adalah:

$$f(x) = f(a) + (x-a)f'(a) + \frac{(x-a)^2}{2!}f''(a) + \frac{(x-a)^3}{3!}f'''(a) + \cdots$$

Jika titik pengembangannya adalah $a = 0$, maka deret Taylor disebut deret Maclaurin.

Bentuk deret Maclaurin:

$$f(x) = f(0) + x f'(0) + \frac{x^2}{2!} f''(0) + \frac{x^3}{3!} f'''(0) + \cdots$$

Beberapa deret Maclaurin yang sering digunakan adalah:

Fungsi	Deret Maclaurin
$e^x$	$1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$
$\sin(x)$	$x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$
$\cos(x)$	$1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$

---

3.3.4 Truncation Error pada Deret Taylor

Deret Taylor secara teoretis memiliki jumlah suku tak hingga. Namun, komputer hanya dapat menghitung jumlah suku yang terbatas. Ketika deret dihentikan pada suku tertentu, muncul error yang disebut truncation error.

Sebagai contoh, fungsi $e^x$ dapat ditulis sebagai:

$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$$

Jika hanya digunakan dua suku pertama, maka:

$$e^x \approx 1 + x$$

Suku-suku setelahnya tidak dihitung. Selisih antara nilai sebenarnya dan hasil pendekatan inilah yang disebut truncation error.

Jumlah Suku	Dampak terhadap Hasil
Sedikit suku	Perhitungan cepat, error lebih besar
Banyak suku	Perhitungan lebih lama, error lebih kecil

Dengan demikian, metode numerik selalu melibatkan kompromi antara akurasi dan efisiensi komputasi.

---

3.3.5 Contoh Pendekatan $\sin(0{,}1)$

Deret Maclaurin untuk fungsi sinus adalah:

$$\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots$$

Untuk $x = 0{,}1$, nilai sebenarnya adalah:

$$\sin(0{,}1) \approx 0{,}0998334166$$

Perbandingan hasil pendekatan:

Jumlah Suku	Bentuk Pendekatan	Hasil Pendekatan	Error Absolut
1 suku	$x$	0,1000000000	0,0001665834
2 suku	$x - \frac{x^3}{3!}$	0,0998333333	0,0000000833
3 suku	$x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!}$	0,0998334167	sangat kecil

Dari tabel tersebut, terlihat bahwa penambahan jumlah suku membuat hasil pendekatan semakin akurat.

---

3.3.6 Dari Deret Taylor ke Turunan Numerik

Deret Taylor juga dapat digunakan untuk menurunkan rumus turunan numerik. Mulai dari bentuk:

$$f(x+h) = f(x) + h f'(x) + \frac{h^2}{2!} f''(x) + \cdots$$

Jika hanya digunakan dua suku pertama, maka:

$$f(x+h) \approx f(x) + h f'(x)$$

Susun ulang untuk mencari $f'(x)$:

$$h f'(x) \approx f(x+h) - f(x)$$ $$f'(x) \approx \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$

Rumus ini disebut beda maju atau forward difference.

---

3.3.7 Beda Maju

Beda maju memperkirakan turunan dengan menggunakan nilai fungsi di titik sekarang dan satu titik di depan.

Rumus beda maju:

$$f'(x) \approx \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$

Keterangan:

Simbol	Makna
$x$	Titik yang akan dicari turunannya
$h$	Ukuran langkah
$f(x)$	Nilai fungsi pada titik sekarang
$f(x+h)$	Nilai fungsi pada titik di depan

Beda maju cocok digunakan ketika data setelah titik $x$ tersedia, misalnya pada awal tabel data.

---

3.3.8 Beda Mundur

Beda mundur memperkirakan turunan dengan menggunakan nilai fungsi di titik sekarang dan satu titik di belakang.

Rumus beda mundur:

$$f'(x) \approx \frac{f(x) - f(x-h)}{h}$$

Beda mundur cocok digunakan ketika data sebelum titik $x$ tersedia, misalnya pada akhir tabel data.

Metode	Rumus	Cocok Digunakan Ketika
Beda maju	$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$	Data di depan titik $x$ tersedia
Beda mundur	$\frac{f(x)-f(x-h)}{h}$	Data di belakang titik $x$ tersedia

---

3.3.9 Makna Error Orde $O(h)$

Rumus beda maju dan beda mundur memiliki error berorde $O(h)$. Artinya, besar error berbanding lurus dengan ukuran langkah $h$.

Jika $h$ diperkecil, error biasanya ikut mengecil. Misalnya, jika $h$ diperkecil menjadi setengah, maka error pada metode berorde $O(h)$ juga kira-kira berkurang menjadi setengah.

Orde Error	Makna Sederhana
$O(h)$	Error mengecil sebanding dengan $h$
$O(h^2)$	Error mengecil lebih cepat, sebanding dengan $h^2$
$O(h^4)$	Error mengecil jauh lebih cepat, sebanding dengan $h^4$

Pada bab berikutnya, Anda akan mempelajari metode yang lebih akurat, yaitu aproksimasi pusat dan higher order approximation.

---

3.4 Fitur Interaktif

Bagian ini dapat digunakan sebagai rancangan komponen interaktif pada halaman web.

3.4.1 Simulator Deret Taylor

Input yang disediakan:

• Pilih fungsi: $e^x$, $\sin(x)$, atau $\cos(x)$
• Masukkan nilai $x$
• Pilih jumlah suku
• Tekan tombol hitung

Output yang ditampilkan:

• Nilai pendekatan
• Nilai sebenarnya
• Error absolut
• Error relatif

Contoh tampilan:

Fungsi	Nilai $x$	Jumlah Suku	Hasil Pendekatan	Error
$\sin(x)$	0,1	1	0,1000000000	0,0001665834
$\sin(x)$	0,1	2	0,0998333333	0,0000000833
$\sin(x)$	0,1	3	0,0998334167	sangat kecil

---

3.4.2 Slider Jumlah Suku

Mahasiswa menggeser jumlah suku deret Taylor. Sistem menampilkan perubahan kurva pendekatan.

Hal yang ditampilkan:

1. Kurva fungsi asli.
2. Kurva hasil pendekatan Taylor.
3. Nilai error pada titik tertentu.
4. Perubahan akurasi ketika jumlah suku bertambah.

Tujuan fitur ini adalah membuat mahasiswa melihat bahwa deret Taylor semakin mendekati fungsi asli ketika jumlah suku ditambah.

---

3.4.3 Graph Panel

Graph panel menampilkan dua kurva dalam satu bidang koordinat:

Kurva	Makna
Fungsi asli	Nilai fungsi sebenarnya
Pendekatan Taylor	Nilai hasil aproksimasi berdasarkan jumlah suku

Contoh fungsi yang dapat ditampilkan:

$$e^x$$ $$\sin(x)$$ $$\cos(x)$$

---

3.4.4 Mini Simulator Beda Maju dan Beda Mundur

Input yang disediakan:

• Fungsi $f(x)$
• Titik $x$
• Nilai $h$
• Pilihan metode: beda maju atau beda mundur

Output yang ditampilkan:

• Nilai turunan numerik
• Nilai turunan eksak
• Error absolut
• Interpretasi hasil

Contoh:

Fungsi	Titik	$h$	Metode	Hasil
$\sin(x)$	0	0,1	Beda maju	0,998334

---

3.5 Contoh Soal

Contoh 3.1 Pendekatan $e^{0{,}2}$ dengan Deret Taylor

Gunakan deret Maclaurin untuk mendekati $e^{0{,}2}$ dengan empat suku pertama.

Deret Maclaurin untuk $e^x$ adalah:

$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$$

Penyelesaian

Untuk $x = 0{,}2$:

Suku pertama:

$$1$$

Suku kedua:

$$x = 0{,}2$$

Suku ketiga:

$$\frac{x^2}{2!} = \frac{0{,}2^2}{2} = 0{,}02$$

Suku keempat:

$$\frac{x^3}{3!} = \frac{0{,}2^3}{6} = 0{,}001333$$

Maka:

$$e^{0{,}2} \approx 1 + 0{,}2 + 0{,}02 + 0{,}001333$$ $$e^{0{,}2} \approx 1{,}221333$$

Nilai sebenarnya:

$$e^{0{,}2} \approx 1{,}221403$$

Error absolut:

$$E_a = |1{,}221403 - 1{,}221333|$$ $$E_a \approx 0{,}000070$$

Jadi, pendekatan empat suku sudah cukup dekat dengan nilai sebenarnya.

---

Contoh 3.2 Beda Maju untuk $f(x) = \sin(x)$

Hitung pendekatan $f'(0)$ untuk $f(x) = \sin(x)$ menggunakan beda maju dengan $h = 0{,}1$.

Penyelesaian

Rumus beda maju:

$$f'(x) \approx \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$

Dengan $x = 0$ dan $h = 0{,}1$:

$$f'(0) \approx \frac{\sin(0+0{,}1) - \sin(0)}{0{,}1}$$ $$f'(0) \approx \frac{0{,}0998334 - 0}{0{,}1}$$ $$f'(0) \approx 0{,}998334$$

Nilai eksak:

$$f'(x) = \cos(x)$$ $$f'(0) = \cos(0) = 1$$

Error absolut:

$$E_a = |1 - 0{,}998334| = 0{,}001666$$

Jadi, hasil beda maju cukup dekat dengan nilai eksak, tetapi tetap memiliki error.

---

Contoh 3.3 Beda Mundur dari Data Tabel

Diberikan data kecepatan $v(t)$ berikut:

$t$	$v(t)$
0,0	0,000
0,1	0,995
0,2	1,987
0,3	2,955

Estimasi percepatan pada $t = 0{,}3$ menggunakan beda mundur dengan $h = 0{,}1$.

Penyelesaian

Rumus beda mundur:

$$f'(x) \approx \frac{f(x) - f(x-h)}{h}$$

Maka:

$$a(0{,}3) \approx \frac{v(0{,}3) - v(0{,}2)}{0{,}1}$$ $$a(0{,}3) \approx \frac{2{,}955 - 1{,}987}{0{,}1}$$ $$a(0{,}3) \approx 9{,}68$$

Jadi, percepatan pada $t = 0{,}3$ diperkirakan sebesar:

$$9{,}68 \text{ m/s}^2$$

Beda mundur digunakan karena $t = 0{,}3$ berada di titik terakhir data, sehingga tidak tersedia data setelahnya.

---

3.6 Latihan

Kerjakan latihan berikut secara sistematis.

1. Tuliskan empat suku pertama deret Maclaurin untuk fungsi:

   $$\cos(x)$$

2. Gunakan deret Maclaurin untuk mendekati $\cos(0{,}3)$ dengan tiga suku pertama. Bandingkan dengan nilai sebenarnya $\cos(0{,}3) \approx 0{,}9553365$.

3. Hitung pendekatan $e^{0{,}5}$ menggunakan tiga suku pertama dari deret:

   $$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$$

4. Diberikan fungsi:

   $$f(x) = x^2$$

   Hitung $f'(2)$ menggunakan beda maju dengan:

   a. $h = 0{,}1$
   b. $h = 0{,}01$

   Bandingkan hasilnya dengan nilai eksak $f'(2) = 4$.

5. Diberikan data berikut:

   $t$	$y(t)$
   1,0	2,718
   1,1	3,004
   1,2	3,320
   1,3	3,669

   Estimasikan turunan $y'(1{,}1)$ menggunakan beda maju dan beda mundur.

6. Jelaskan mengapa rumus beda maju dan beda mundur dapat dikatakan berasal dari pemotongan deret Taylor.

---

3.7 Rangkuman

1. Deret Taylor digunakan untuk mendekati fungsi dengan penjumlahan suku-suku yang melibatkan nilai fungsi dan turunannya.
2. Deret Maclaurin adalah deret Taylor yang dikembangkan di sekitar titik nol.
3. Fungsi seperti $e^x$, $\sin(x)$, dan $\cos(x)$ dapat didekati menggunakan deret Taylor.
4. Truncation error muncul ketika deret tak hingga dipotong pada jumlah suku tertentu.
5. Semakin banyak suku Taylor yang digunakan, hasil pendekatan biasanya semakin akurat.
6. Rumus beda maju diperoleh dari pemotongan deret Taylor pada dua suku pertama.
7. Rumus beda mundur menggunakan nilai fungsi di titik sekarang dan titik sebelumnya.
8. Beda maju dan beda mundur memiliki error berorde $O(h)$.
9. Semakin kecil nilai $h$, hasil turunan numerik biasanya semakin akurat, tetapi pemilihan $h$ tetap perlu hati-hati karena error pembulatan dapat muncul.