Bab 10: Regresi Linear

10.1 Deskripsi Bab

Pada Bab 9, Anda telah mempelajari interpolasi, yaitu metode untuk membangun kurva yang melewati titik-titik data. Interpolasi cocok digunakan jika data relatif akurat dan tidak banyak mengandung noise.

Namun, data nyata sering tidak sempurna. Data hasil pengukuran sensor, eksperimen laboratorium, atau pengamatan sistem biasanya mengandung error. Jika semua titik data yang mengandung noise dipaksa dilewati oleh kurva, hasilnya dapat menjadi tidak stabil dan tidak mewakili tren sebenarnya.

Bab ini membahas regresi linear, yaitu metode untuk membangun garis lurus terbaik yang mewakili pola umum data. Garis regresi tidak harus melewati semua titik data. Tujuannya adalah mencari garis yang paling baik menggambarkan hubungan antara variabel $x$ dan $y$.

---

10.2 Capaian Pembelajaran

Setelah mempelajari bab ini, mahasiswa diharapkan mampu:

1. Menjelaskan pengertian regresi linear.
2. Membedakan regresi dan interpolasi.
3. Menjelaskan konsep garis terbaik.
4. Menjelaskan prinsip metode kuadrat terkecil.
5. Menghitung parameter regresi $a$ dan $b$.
6. Menginterpretasikan slope dan intercept.
7. Menghitung residual dan Sum of Squared Errors.
8. Menerapkan regresi linear pada data eksperimen teknik elektro.

---

10.3 Materi Inti

10.3.1 Apa Itu Regresi?

Regresi adalah teknik untuk membangun model yang mewakili hubungan antara sekumpulan data. Dalam regresi linear, model yang dibangun berupa garis lurus.

Bentuk umum regresi linear sederhana adalah:

$$y = a + bx$$

Keterangan:

Simbol	Makna
$y$	Variabel yang diprediksi
$x$	Variabel bebas
$a$	Intercept atau nilai $y$ saat $x=0$
$b$	Slope atau kemiringan garis

Tujuan regresi bukan membuat garis melewati semua titik data, melainkan membuat garis yang paling mewakili tren data secara keseluruhan.

---

10.3.2 Perbedaan Regresi dan Interpolasi

Regresi dan interpolasi sama-sama digunakan untuk memahami data, tetapi tujuan keduanya berbeda.

Aspek	Interpolasi	Regresi
Tujuan	Memperkirakan nilai di antara titik data	Menangkap tren umum data
Kurva	Harus melewati semua titik data	Tidak harus melewati semua titik data
Cocok untuk	Data akurat dan sedikit noise	Data eksperimen yang mengandung noise
Hasil utama	Nilai pendekatan pada titik tertentu	Persamaan model
Contoh	Tabel kalibrasi yang sangat presisi	Hubungan arus dan tegangan hasil eksperimen

Jika data mengandung noise, regresi biasanya lebih sesuai daripada interpolasi karena regresi tidak memaksa garis melewati setiap titik.

---

10.3.3 Konsep Garis Terbaik

Misalkan terdapat beberapa titik data:

$$(x_1,y_1), (x_2,y_2), \ldots, (x_n,y_n)$$

Kita ingin mencari garis:

$$y = a + bx$$

yang paling mewakili titik-titik tersebut.

Untuk setiap titik data, terdapat selisih antara nilai data sebenarnya dan nilai prediksi dari garis regresi. Selisih ini disebut residual.

Jika nilai prediksi pada titik $x_i$ adalah:

$$\hat{y_i}=a+bx_i$$

maka residualnya adalah:

$$d_i = y_i - \hat{y_i}$$

atau:

$$d_i = y_i - (a+bx_i)$$

Garis terbaik adalah garis yang membuat total kuadrat residual sekecil mungkin.

---

10.3.4 Sum of Squared Errors

Sum of Squared Errors atau SSE adalah jumlah kuadrat residual.

$$SSE = \sum d_i^2$$

atau:

$$SSE = \sum \left(y_i - (a+bx_i)\right)^2$$

Mengapa residual dikuadratkan?

Jika residual hanya dijumlahkan biasa, residual positif dan negatif dapat saling menghilangkan. Akibatnya, jumlah residual bisa kecil atau bahkan nol, padahal garis belum tentu baik. Dengan menguadratkan residual, semua error dihitung sebagai nilai positif.

Residual	Jika Dijumlahkan	Jika Dikuadratkan
Positif	Bisa menambah total	Menambah total error
Negatif	Bisa mengurangi total	Tetap menambah total error
Nol	Tidak berpengaruh	Tidak berpengaruh

Semakin kecil nilai SSE, semakin baik garis regresi mewakili data.

---

10.3.5 Metode Kuadrat Terkecil

Metode kuadrat terkecil atau least squares method adalah metode untuk mencari garis regresi yang meminimumkan SSE.

Bentuk garis regresi:

$$y = a + bx$$

Parameter $a$ dan $b$ dihitung dengan rumus:

$$b = \frac{n\sum x_i y_i - (\sum x_i)(\sum y_i)}{n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2}$$ $$a = \frac{\sum y_i - b\sum x_i}{n}$$

atau:

$$a = \bar{y} - b\bar{x}$$

Keterangan:

Simbol	Makna
$n$	Jumlah data
$\sum x_i$	Jumlah seluruh nilai $x$
$\sum y_i$	Jumlah seluruh nilai $y$
$\sum x_i y_i$	Jumlah hasil kali $x_i$ dan $y_i$
$\sum x_i^2$	Jumlah kuadrat nilai $x_i$
$\bar{x}$	Rata-rata nilai $x$
$\bar{y}$	Rata-rata nilai $y$

---

10.3.6 Langkah Praktis Menghitung Regresi Linear

Langkah-langkah menghitung regresi linear adalah:

1. Susun data dalam bentuk pasangan $(x_i,y_i)$.

2. Buat tabel bantu yang memuat $x_i$, $y_i$, $x_i y_i$, dan $x_i^2$.

3. Hitung $\sum x_i$, $\sum y_i$, $\sum x_i y_i$, dan $\sum x_i^2$.

4. Hitung nilai $b$ menggunakan rumus slope.

5. Hitung nilai $a$ menggunakan rumus intercept.

6. Bentuk persamaan regresi:

   $$y = a + bx$$

7. Hitung residual dan SSE jika ingin menilai kualitas garis regresi.

---

10.3.7 Interpretasi Parameter $a$ dan $b$

Parameter $a$ dan $b$ tidak hanya angka. Keduanya memiliki makna yang dapat ditafsirkan.

Parameter	Nama	Makna
$a$	Intercept	Nilai prediksi $y$ ketika $x=0$
$b$	Slope atau gradien	Perubahan $y$ untuk setiap kenaikan satu satuan $x$

Jika $b>0$, hubungan antara $x$ dan $y$ cenderung searah. Ketika $x$ naik, $y$ juga cenderung naik.

Jika $b<0$, hubungan antara $x$ dan $y$ cenderung berlawanan arah. Ketika $x$ naik, $y$ cenderung turun.

Dalam teknik elektro, jika regresi dilakukan pada hubungan tegangan dan arus:

$$V = a + bI$$

maka slope $b$ dapat ditafsirkan sebagai resistansi.

---

10.3.8 Residual dan Kualitas Model

Setelah persamaan regresi diperoleh, residual setiap titik dapat dihitung dengan:

$$d_i = y_i - (a+bx_i)$$

Residual menunjukkan jarak vertikal antara titik data dan garis regresi.

Kondisi Residual	Interpretasi
Residual kecil	Prediksi dekat dengan data
Residual besar	Prediksi jauh dari data
Residual positif	Data berada di atas garis regresi
Residual negatif	Data berada di bawah garis regresi

SSE digunakan sebagai ukuran sederhana untuk melihat kualitas model. SSE yang lebih kecil menunjukkan bahwa garis regresi lebih dekat terhadap titik-titik data.

---

10.3.9 Aplikasi Regresi Linear dalam Teknik Elektro

Regresi linear sering digunakan dalam data eksperimen teknik elektro. Beberapa contoh aplikasinya adalah:

Aplikasi	Tujuan Regresi
Verifikasi Hukum Ohm	Menentukan resistansi dari data arus dan tegangan
Kalibrasi sensor	Mencari hubungan antara input fisik dan output tegangan
Karakterisasi komponen	Mengetahui hubungan antarvariabel hasil pengukuran
Prediksi respons sistem	Membuat model sederhana dari data eksperimen
Analisis konsumsi energi	Melihat tren penggunaan daya terhadap waktu atau beban

Contoh penting adalah Hukum Ohm:

$$V = IR$$

Jika $V$ menjadi variabel $y$ dan $I$ menjadi variabel $x$, maka bentuknya sesuai dengan regresi linear:

$$V = a + bI$$

Jika $a$ mendekati nol dan $b$ bernilai sekitar resistansi, maka data eksperimen konsisten dengan Hukum Ohm.

---

10.3.10 Pengantar Jenis Regresi Lain

Regresi linear sederhana hanya membahas hubungan satu variabel bebas dan satu variabel terikat dalam bentuk garis lurus. Pada data nyata, hubungan antarvariabel tidak selalu linear.

Beberapa jenis regresi lain adalah:

Jenis Regresi	Bentuk Umum	Cocok Untuk
Regresi polinomial	$y=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n$	Data melengkung
Regresi multivariabel	$y=a+b_1x_1+b_2x_2+\cdots+b_kx_k$	Data dengan banyak variabel bebas
Regresi eksponensial	$y=ae^{bx}$	Pertumbuhan atau peluruhan
Regresi logaritmik	$y=a+b\ln(x)$	Perubahan cepat di awal lalu melambat
Regresi pangkat	$y=ax^b$	Hubungan empiris berbentuk pangkat

Beberapa model non-linear dapat diubah menjadi bentuk linear melalui transformasi. Misalnya:

$$y=ae^{bx}$$

dapat diubah menjadi:

$$\ln(y)=\ln(a)+bx$$

Setelah ditransformasi, metode kuadrat terkecil dapat digunakan kembali.

---

10.4 Fitur Interaktif

Bagian ini dapat digunakan sebagai rancangan komponen interaktif pada halaman web.

10.4.1 Input Titik Data

Mahasiswa dapat memasukkan titik data dalam bentuk tabel.

Contoh:

$x$	$y$
1	2
2	4
3	5
4	4
5	5

Sistem kemudian menghitung:

1. Nilai slope $b$.
2. Nilai intercept $a$.
3. Persamaan regresi.
4. Residual tiap titik.
5. SSE.

---

10.4.2 Garis Regresi Otomatis

Setelah data dimasukkan, graph panel menampilkan:

1. Titik-titik data.
2. Garis regresi.
3. Residual sebagai garis vertikal dari titik data ke garis regresi.
4. Nilai $a$, $b$, dan SSE.

Visualisasi ini membantu mahasiswa memahami bahwa regresi tidak memaksa garis melewati semua titik.

---

10.4.3 Titik Data Bisa Digeser

Mahasiswa dapat menggeser titik data pada grafik. Sistem secara otomatis memperbarui:

1. Garis regresi.
2. Nilai slope.
3. Nilai intercept.
4. Residual per titik.
5. Nilai SSE.

Fitur ini membantu mahasiswa melihat pengaruh satu titik data terhadap garis regresi.

---

10.4.4 Residual per Titik

Sistem dapat menampilkan residual dalam tabel.

$x_i$	$y_i$	$\hat{y_i}$	$d_i$	$d_i^2$
1	2	2,8	-0,8	0,64
2	4	3,4	0,6	0,36
3	5	4,0	1,0	1,00

Mahasiswa dapat melihat titik mana yang paling jauh dari garis regresi.

---

10.4.5 Mini Quiz Interaktif

Contoh pertanyaan interaktif:

1. Apa perbedaan regresi dan interpolasi?
2. Apa makna slope pada garis regresi?
3. Kapan regresi linear cocok digunakan?
4. Apa arti residual positif?
5. Mengapa residual dikuadratkan dalam SSE?

---

10.5 Contoh Soal

Contoh 10.1 Regresi Linear Sederhana

Diberikan data:

$$(1,2), (2,4), (3,5), (4,4), (5,5)$$

Tentukan persamaan regresi linear:

$$y=a+bx$$

Penyelesaian

Buat tabel bantu:

$i$	$x_i$	$y_i$	$x_i y_i$	$x_i^2$
1	1	2	2	1
2	2	4	8	4
3	3	5	15	9
4	4	4	16	16
5	5	5	25	25
$\sum$	15	20	66	55

Diketahui:

$$n=5$$ $$\sum x_i=15$$ $$\sum y_i=20$$ $$\sum x_i y_i=66$$ $$\sum x_i^2=55$$

Hitung slope:

$$b = \frac{n\sum x_i y_i - (\sum x_i)(\sum y_i)}{n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2}$$ $$b = \frac{5(66)-15(20)}{5(55)-15^2}$$ $$b = \frac{330-300}{275-225}$$ $$b = \frac{30}{50}=0{,}6$$

Hitung intercept:

$$a = \frac{\sum y_i - b\sum x_i}{n}$$ $$a = \frac{20 - 0{,}6(15)}{5}$$ $$a = \frac{20-9}{5}$$ $$a = 2{,}2$$

Jadi, persamaan regresinya adalah:

$$y = 2{,}2 + 0{,}6x$$

---

Contoh 10.2 Menghitung Residual dan SSE

Gunakan hasil dari Contoh 10.1:

$$y = 2{,}2 + 0{,}6x$$

Hitung residual dan SSE.

Penyelesaian

$x_i$	$y_i$	$\hat{y_i}=2{,}2+0{,}6x_i$	$d_i=y_i-\hat{y_i}$	$d_i^2$
1	2	2,8	-0,8	0,64
2	4	3,4	0,6	0,36
3	5	4,0	1,0	1,00
4	4	4,6	-0,6	0,36
5	5	5,2	-0,2	0,04

Maka:

$$SSE = 0{,}64+0{,}36+1{,}00+0{,}36+0{,}04$$ $$SSE = 2{,}40$$

Interpretasi: nilai SSE sebesar $2{,}40$ menunjukkan bahwa garis regresi tidak melewati semua titik data secara sempurna, tetapi cukup mewakili tren data secara umum.

---

Contoh 10.3 Regresi pada Data Kalibrasi Sensor

Sebuah sensor suhu dikalibrasi dengan data berikut:

Suhu $T$ dalam °C	Tegangan $V$ dalam volt
20	1,02
40	2,05
60	3,07
80	4,11

Cari persamaan kalibrasi:

$$V = a + bT$$

lalu gunakan untuk memprediksi suhu saat:

$$V = 2{,}5 \text{ V}$$

Penyelesaian

Tabel bantu:

$T$	$V$	$T \cdot V$	$T^2$
20	1,02	20,40	400
40	2,05	82,00	1600
60	3,07	184,20	3600
80	4,11	328,80	6400
$\sum$	10,25	615,40	12000

Diketahui:

$$n=4$$ $$\sum T=200$$ $$\sum V=10{,}25$$ $$\sum TV=615{,}40$$ $$\sum T^2=12000$$

Hitung slope:

$$b = \frac{4(615{,}40)-200(10{,}25)}{4(12000)-200^2}$$ $$b = \frac{2461{,}6-2050}{48000-40000}$$ $$b = \frac{411{,}6}{8000}$$ $$b \approx 0{,}05145$$

Hitung intercept:

$$a = \frac{10{,}25 - 0{,}05145(200)}{4}$$ $$a \approx -0{,}01$$

Persamaan kalibrasi:

$$V \approx -0{,}01 + 0{,}05145T$$

Untuk $V=2{,}5$:

$$2{,}5 = -0{,}01 + 0{,}05145T$$ $$T = \frac{2{,}5+0{,}01}{0{,}05145}$$ $$T \approx 48{,}8^\circ C$$

Jadi, jika sensor membaca $2{,}5$ V, suhu diperkirakan sekitar:

$$48{,}8^\circ C$$

---

Contoh 10.4 Regresi untuk Estimasi Resistansi

Sebuah resistor diuji dengan data arus dan tegangan berikut.

Arus $I$ dalam A	Tegangan $V$ dalam V
0,10	0,95
0,20	2,10
0,30	2,95
0,40	4,05
0,50	5,00

Jika digunakan model:

$$V = a + bI$$

maka $b$ dapat ditafsirkan sebagai resistansi.

Dari perhitungan regresi, diperoleh:

$$b \approx 10{,}05$$

dan:

$$a \approx -0{,}005 \approx 0$$

Maka persamaan regresinya adalah:

$$V \approx 0 + 10{,}05I$$

Jadi, resistansi resistor diperkirakan:

$$R \approx 10{,}05 \Omega$$

Karena intercept hampir nol, hasil ini konsisten dengan Hukum Ohm.

---

10.6 Latihan

Kerjakan latihan berikut secara sistematis.

1. Lima siswa memiliki data jam belajar dan nilai ujian sebagai berikut:

   $$(2,65), (4,72), (6,78), (8,85), (10,88)$$

   Bangun persamaan regresi linear $y=a+bx$. Hitung nilai $a$, $b$, dan interpretasikan maknanya.

2. Dari hasil latihan nomor 1, hitung residual setiap titik dan nilai SSE.

3. Sebuah resistor diuji dengan data berikut:

   $$(0{,}2,1{,}01), (0{,}4,2{,}03), (0{,}6,3{,}02), (0{,}8,4{,}04)$$

   Gunakan regresi linear $V=a+bI$ untuk mengestimasi resistansi resistor.

4. Jelaskan mengapa regresi linear lebih cocok daripada interpolasi untuk data eksperimen yang mengandung noise.

5. Pada percobaan pengisian kapasitor, diperoleh data:

   $t$ dalam s	$V$ dalam V
   1	6,3
   2	8,7
   3	9,5
   4	9,8
   5	9,9

   Apakah regresi linear cocok untuk data ini? Jelaskan alasannya.

6. Buat satu contoh kasus teknik elektro di mana regresi linear dapat digunakan untuk kalibrasi sensor.

7. Jelaskan mengapa jumlah residual biasa tidak cukup untuk menilai kualitas garis regresi.

---

10.7 Rangkuman

1. Regresi adalah metode untuk membangun model yang mewakili tren data.
2. Regresi linear sederhana menggunakan model $y=a+bx$.
3. Berbeda dengan interpolasi, regresi tidak harus melewati semua titik data.
4. Regresi cocok untuk data eksperimen yang mengandung noise.
5. Metode kuadrat terkecil mencari garis yang meminimumkan jumlah kuadrat residual.
6. Rumus slope adalah $b=\frac{n\sum x_i y_i-(\sum x_i)(\sum y_i)}{n\sum x_i^2-(\sum x_i)^2}$.
7. Rumus intercept adalah $a=\frac{\sum y_i-b\sum x_i}{n}$.
8. Parameter $a$ menunjukkan nilai prediksi $y$ saat $x=0$.
9. Parameter $b$ menunjukkan perubahan $y$ untuk setiap kenaikan satu satuan $x$.
10. Residual adalah selisih antara nilai data dan nilai prediksi regresi.
11. SSE adalah jumlah kuadrat residual dan digunakan untuk menilai kualitas model.
12. Regresi linear banyak digunakan dalam teknik elektro, seperti verifikasi Hukum Ohm, kalibrasi sensor, karakterisasi komponen, dan prediksi respons sistem.